Question

18、已知f（x）是单调减函数，若将方程f（x）=x与f（x）=f^-1（x）的解分别称为函数f（x）的不动点与稳定点．则x是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的（　　）

A、充要条件

B、充分不必要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：欲判断”x是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的什么条件，只须从两个方面考虑：一方面：若x是f（x）的不动点，看能不能推出“x是f（x）的稳定点“；另一方面：”x是f（x）的稳定点“能不能推出“x是f（x）的不动点“．

解答：解：一方面：若x是f（x）的不动点，
则f（x）=x，即函数y=f（x）与直线y=x的交点的横坐标为x，
因为原函数与反函数的图象一定要关于直线y=x对称，
故反函数的图象一定要过函数y=f（x）与直线y=x的横坐标为x交点，
即f（x）=f^-1（x）的解是x，
故”x是f（x）的不动点?“x是f（x）的稳定点“；
另一方面：x是f（x）的稳定点，
即f（x）=f^-1（x），即函数y=f（x）与y=f^-1（x）的交点的横坐标为x，
因为原函数与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上，
故原函数的图象不一定要过函数y=f（x）与反函数的图象的交点，
即x不一定是方程f（x）=f^-1（x）的解
故”x是f（x）的稳定点“不能?”x是f（x）的不动点“
则x“是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的“充分不必要条件．
故选B．

点评：本题主要考查了充要条件及互为反函数的两个函数图象的对称关系，本题容易错在：”原函数与反函数的图象的交点一定在y=x上“，原函数与反函数的图象的交点不一定在y=x上，如果交点只有1个：那么一定在Y=X上，因为原函数与反函数的图象一定要对称，如果交点有2个：那么原函数与反函数的图象完全可以在直线y=x两侧，这样也原函数与反函数的图象也是对称的．