Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为

2

，点F为双曲线C的右焦点，过F作倾斜角为60°的直线交C于A、B两点，且

AF

=λ

FB

．则实数λ=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分别过A，B作AD⊥l，BC⊥l，垂足分别为D，C（l为双曲线的右准线），过B作BE⊥AD，垂足为E，由直线AB的倾斜角为60°，则∠ABE=30°，设BF=t，则可得AF=λt，AE=

1

2

AB，再由双曲线的第二定义可知AE=AD-BC，代入计算即可得到λ．

解答： 解：分别过A，B作AD⊥l，BC⊥l，
垂足分别为D，C（l为双曲线的右准线），
过B作BE⊥AD，垂足为E，
∵直线AB的倾斜角为60°，则∠ABE=30°
设BF=t，则由

AF

=λ

FB

，可得AF=λt，
AB=AF+BF=（λ+1）t，
Rt△ABE中，AE=

1

2

AB=

1

2

（λ+1）t，
由双曲线的定义可知，

AF

AD

=e=

2

，

BF

BC

=e=

2

，
∵AE=AD-DE=AD-BC=

2

2

（AF-BF）=

2

2

（λt-t）=

1

2

（λ+1）t，
∴λ=3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查双曲线的第二定义的应用及直线与双曲线的相交关系的应用，解答本题的关键是灵活应用第二定义．