Question

已知某椭圆的焦点F₁（－4,0），F₂（4,0），过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x₁,y₁）,C(x₂,y₂)满足条件｜F₂A｜，｜F₂B｜，｜F₂C｜成等差数列.

（1）求该椭圆的方程；

（2）求弦AC中点的横坐标.

Answer 1

1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F₁B｜＋｜F₂B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.

由点B（4，y₀）在椭圆上，得｜F₂B｜＝｜y₀|＝，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有

.因为｜F₂A｜，｜F₂B｜，｜F₂C｜成等差数列，＋，所以：　　x₁+x₂=8,

从而弦AC的中点的横坐标为

解析:

因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.