Question

5．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式${x^2}f（\frac{1}{x}）-f（x）＜0$的解集为（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，3）
• C． （0，2）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 令辅助函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式 $\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}$＞$\frac{f（x）}{x}$的关系，利用不等式的性质得到结论．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{x}$为定义域上的减函数，
由不等式x²f（$\frac{1}{x}$）-f（x）＜0，
得：$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}$＞＜$\frac{f（x）}{x}$，
∴$\frac{1}{x}$＞x，
∴0＜x＜1，
故选：D．

点评 本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．此题为中档题．