Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠ABC=90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，折起后∠AEF=θ．
（1）求证：平面AEF⊥平面BCD；
（2）cosθ为何值时，AB⊥CD？

Answer 1

分析：（1）根据折起前后没有发生变化的几何量寻找线线垂直，从而证明线面垂直，进而得到面面垂直；
（2）构造一个过直线AB且与直线CD垂直的平面，根据几何量的关系求出cosθ的值．

解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形．
又E是BD的中点，
故BD⊥AE，BD⊥EF．
折起后，AE∩EF=E，
所以BD⊥平面AEF，而BD?平面BCD，
所以平面AEF⊥平面BCD；
（2）如图所示，
过A作AP⊥平面BCD于P，则P在FE的延长线上．
设BP与CD的延长线相交于Q，令AB=1，则△ABD是边长为1的等边三角形．
若AB⊥CD，又AP⊥CD，AB∩AP=A，则CD⊥平面ABP，于是有BQ⊥CD．
在Rt△CBQ中，∠C=30°，故∠CBQ=60°，又∠CBD=30°，故∠EBP=30°．
在Rt△EBP中，PE=BE×tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

．
又AE=

3

2

，故cosAEP=

PE

AE

=

3 6

3 2

=

1

3

，
折起后有cosθ=cos（π-∠AEP）=-

1

3

，
故当cosθ=-

1

3

时，AB⊥CD．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面垂直的性质，考查推理证明与计算能力，属于中档题．