Question

已知a＜0，函数f(x)=asin(2x+

π

6

)+b，当x∈R时，f（x）∈[1，3]．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的图象也性质，结合a＜0建立关于a、b的方程组，解之即得实数a，b的值；
（2）由（1）得函数表达式为f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2．得函数y=sin(2x+

π

6

)的增区间就是函数f（x）的减区间，函数y=sin(2x+

π

6

)的减区间就是函数f（x）的增区间，由正弦函数单调性建立不等式，解之即得f（x）的单调区间．

解答：解：∵x∈R，∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]．
∵a＜0，∴asin(2x+

π

6

)∈[a，-a]，
因此，可得asin(2x+

π

6

)+b∈[b+a，b-a]．
又∵1≤f（x）≤3，
∴

b+a=1 b-a=3

，解得：a=-1，b=2．…（3分）
（2）由（1）知a=-1，b=2，得f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，（k∈Z）
∴函数y=sin(2x+

π

6

)的增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，
得函数f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2的减区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]．（k∈Z）
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，（k∈Z）
∴函数y=sin(2x+

π

6

)的增区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，
得函数f(x)=-sin(2x+

π

6

)+2的增区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）
综上所述，得f（x）的单调增区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，单调减区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]．（k∈Z）

点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的最大、最小值，求参数a、b的值，着重考查了正弦函数的单调性和由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．