Question

下列四个命题，其中正确的是（　　）
①已知向量

α

和

β

，则“

α

•

β

=0”的充要条件是“

α

=

0

或

β

=

0

”；
②已知数列{a_n}和{b_n}，则“

lim

n→∞

anbn=0”的充要条件是“

lim

n→∞

an=0或

lim

n→∞

bn=0”；
③已知z₁，z₂∈C，则“z₁•z₂=0”的充要条件是“z₁=0或z₂=0”；
④已知α，β∈R，则“sinα•cosβ=0”的充要条件是“α=kπ，（k∈Z）或β=

π

2

+kπ，(k∈Z)”

Answer 1

分析：根据向量垂直的充要条件，可以判断①；举出反例an=

1，n为奇数 0，n为偶数

，bn=

0，n为奇数 1，n为偶数

，可以判断②；根据复数乘法运算法则，及复数相等的充要条件，可判断③；根据三角函数的定义，可以判断④

解答：解：①已知向量

α

和

β

，则“

α

•

β

=0”的充要条件是“

α

=

0

或

β

=

0

或

α

⊥

β

”，故①错误；
②若数列an=

1，n为奇数 0，n为偶数

，bn=

0，n为奇数 1，n为偶数

，则“

lim

n→∞

anbn=0”但“

lim

n→∞

an=0与

lim

n→∞

bn=0”均不成立，故②错误；
③已知z₁，z₂∈C，则“z₁•z₂=0”的充要条件是“z₁=0或z₂=0”，故③正确；
④已知α，β∈R，则“sinα•cosβ=0”的充要条件是“sinα=0或cosβ=0”，即“α=kπ，（k∈Z）或β=

π

2

+kπ，(k∈Z)”，故④正确；
故正确的命题有③④
故选D

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了向量垂直，数列极限，复数相等，三角函数的定义及充要条件等知识点，难度中档．