Question

14．如图，四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；
（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

Answer 1

分析 （1）连结CE，BD，设CE∩BD=O，连结OG，则OG∥AC，由此能证明AC∥平面BDG．
（2）以BC中点H为原点，HB为x轴，HO为y轴，HA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当点F在线段AB的三等分点（靠近端点A）时，二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

解答 证明：（1）连结CE，BD，设CE∩BD=O，连结OG，
由三角形的中位线定理，得OG∥AC，
∵AC?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AC∥平面BDG．
解：（2）以BC中点H为原点，HB为x轴，HO为y轴，HA为z轴，建立空间直角坐标系，
在Rt△ACD中，斜边AD=$\sqrt{7}$，AC=2，CD=$\sqrt{7-4}$=$\sqrt{3}$，
∴B（1，0，0），C（-1，0，0），E（1，$\sqrt{3}$，0），
设$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BA}$，得F（1-λ，0，$\sqrt{3}$λ），（0＜λ≤1），
设平面CEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+\sqrt{3}y=0}\\{（2-λ）x+\sqrt{3}λz=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-2，1-\frac{2}{λ}$），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$，
∴$\frac{2\sqrt{11}}{11}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{|\frac{2}{λ}-1|}{\sqrt{7+（1-\frac{2}{λ}）^{2}}}$，
∵0＜λ≤1，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴当点F在线段AB的三等分点（靠近端点A）时，二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．