分析 (1)连结CE,BD,设CE∩BD=O,连结OG,则OG∥AC,由此能证明AC∥平面BDG.
(2)以BC中点H为原点,HB为x轴,HO为y轴,HA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出当点F在线段AB的三等分点(靠近端点A)时,二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$.
解答 证明:(1)连结CE,BD,设CE∩BD=O,连结OG,
由三角形的中位线定理,得OG∥AC,
∵AC?平面BDG,OG?平面BDG,
∴AC∥平面BDG.
解:(2)以BC中点H为原点,HB为x轴,HO为y轴,HA为z轴,建立空间直角坐标系,
在Rt△ACD中,斜边AD=$\sqrt{7}$,AC=2,CD=$\sqrt{7-4}$=$\sqrt{3}$,
∴B(1,0,0),C(-1,0,0),E(1,$\sqrt{3}$,0),
设$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BA}$,得F(1-λ,0,$\sqrt{3}$λ),(0<λ≤1),
设平面CEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2x+\sqrt{3}y=0}\\{(2-λ)x+\sqrt{3}λz=0}\end{array}\right.$,
取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3},-2,1-\frac{2}{λ}$),
平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
∵二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$,
∴$\frac{2\sqrt{11}}{11}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{|\frac{2}{λ}-1|}{\sqrt{7+(1-\frac{2}{λ})^{2}}}$,
∵0<λ≤1,解得$λ=\frac{2}{3}$,
∴当点F在线段AB的三等分点(靠近端点A)时,二面角B-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | p为真 | B. | ¬q为假 | C. | p∧q为真 | D. | p∨q为假 |
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A. | $\frac{7}{2}$ | B. | $\sqrt{10}$ | C. | 4 | D. | $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ |
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x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 73 | 81 | 89 | 90 | 91 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
收入x(万元) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
支出y(万元) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
A. | 15万元 | B. | 14万元 | C. | 13万元 | D. | 12万元 |
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