Question

已知f（x）=ax-

2

x

-3lnx，其中a为常数．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（

2

3

，f（

2

3

））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[

3

2

，3]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点P（1，-4）作函数F（x）=x²[f（x）+3lnx-3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导数f′（x），由f（x）的图象在点（

2

3

，f（

2

3

））处的切线的斜率为1，得f′(

2

3

)=1，可得a的方程，解出a可得f（x），由导数可求得函数的极小值，同时也为最小值；
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上既有极大值也有极小值，等价于f′（x）=0有两个不等正实根，从而可化为二次方程根的分布问题，根据两根之和、两根之积大于0及判别式符号可得不等式组；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x），从而可得F（x），F′（x），分P为切点，P不为切点两种情况讨论，当P为切点时，斜率k=F′（1），由点斜式可得切线方程；当P不为切点时，由两点连线的斜率公式及斜率相等可得方程，解出即可；

解答：解：f′(x)=a+

2

x2

-

3

x

，
∵f（x）的图象在点（

2

3

，f（

2

3

））处的切线的斜率为1，
∴f′(

2

3

)=1，即a+

2

( 2 3 )2

-

3

2 3

=1，化简，得a=1，
故f（x）=x-

2

x

-3lnx，f′(x)=

(x-1)(x-2)

x2

，当

3

2

≤x＜2时，f′（x）＜0，当2＜x≤3时，f′（x）＞0，
∴x=2是f（x）的极小值点，也是最小值点，
∴f（x）_min=f（2）1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=a+

2

x2

-

3

x

=

ax2-3x+2

x2

（x＞0），
∵f（x）在（0，+∞）上既有极大值也有极小值，
∴f′（x）=0即ax²-3x+2=0有两个不等的正实根，不妨设这两个正实根为x₁、x₂，并令h（x）=ax²-3x+2，则

△=9-8a＞0 x1+x2= 3 a ＞0 x1x2= 2 a ＞0

，解得0＜a＜

9

8

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=x-

2

x

-3lnx，
故F（x）=x³-3x²-2x（x＞0），F′（x）=3x²-6x-2（x＞0），
设切点为T（x₀，y₀），由于点P在函数F（x）的图象上，
则（1）当切点T不与点P（1，-4）重合，即当x₀≠1时，
由于切线过点P（1，-4），则

y0+4

x0-1

=3x02-6x0-2，
∴x03-3x02-2x0+4=(x0-1)(3x02-6x0-2)，化简得x03-3x02+3x0-1=0，即(x0-1)3=0，解得x₀=1（舍去）；
（2）当切点T与点P（1，-4）重合，即x₀=1时，
则切线的斜率k=F′（1）=-5，于是切线方程为5x+y-1=0，
综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为5x+y-1=0．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想，考查学生的运算能力及分析解决问题的能力．