【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:分钟)进行调查,将收集的数据分成,,,,,六组,并作出频率分布直方图(如图),将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | 60 | ||
女 | 110 | ||
合计 |
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样,抽取8人,再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查,记“课外体育不达标”的人数为X,求X的分布列和数学期望.参考公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1)在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关;(2)见解析
【解析】
(1)由题意得“课外体育达标”人数为,列出的列联表,计算得出的值,即可作出判断;
(2)由分层抽样在“课外体育达标”和“课外体育不达标”的学生中抽取的人数,得到的所有可能取值,求得每个随机变量对应的概率,得出分布列,利用公式求解。
(1)由题意得“课外体育达标”人数为,
则“课外体育不达标”人数为150,所以列联表如下:
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | 60 | 30 | 90 |
女 | 90 | 20 | 110 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
所以.
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.
(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人,在“课外体育不达标”的学生中抽取6人,由题意知:的所有可能取值为1,2,3,
;;.
故
1 | 2 | 3 | |
故的数学期望为.
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【题目】如图所示,正三角形的中线与中位线相交于点,已知是绕旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题,其中正确的命题的序号是( )
A.动点在平面上的射影在上
B.恒有平面平面
C.三棱锥的体积有最大值
D.直线与不可能垂直
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【题目】已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则( )
A. E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
B. E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C. E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D. E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
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【题目】用合适的方法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集.
(1)到A、B两点距离相等的点的集合
(2)满足不等式的的集合
(3)全体偶数
(4)被5除余1的数
(5)20以内的质数
(6)
(7)方程的解集
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【题目】设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是( )
①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0);②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0);③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0);④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0).
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ②④
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【题目】某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为,观影人数记为,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后与的函数图象.
给出下列四种说法:
①图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.(填写所有正确说法的编号)
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【题目】历史上,许多人研究过圆锥的截口曲线.如图,在圆锥中,母线与旋转轴夹角为,现有一截面与圆锥的一条母线垂直,与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为,对于所得截口曲线给出如下命题:
①曲线形状为椭圆;
②点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点;
③该曲线上任意两点间的最长距离为,最短距离为;
④该曲线的离心率为.其中正确命题的序号为 ( )
A. ①②④B. ①②③④C. ①②③D. ①④
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的参数方程为(t为参数).
(1)写出曲线的参数方程和直线的普通方程;
(2)已知点是曲线上一点,,求点到直线的最小距离.
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【题目】在梯形中(图1),, , ,过、分别作的垂线,垂足分别为、,已知, ,将梯形沿、同侧折起,使得, ,得空间几何体(图2).
(1)证明: 平面;
(2)求三棱锥的体积.
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