Question

设关于x的方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解α、β．
（1）求α的取值范围．（2）求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过两角和公式对方程进行化简，因有相异二解推断出sin（x+

π

3

）不等于sin

π

3

和±1，进而推断|-

a

2

|＜1，求出a的取值范围．
（Ⅱ）把方程的相异解α、β分别代入方程，得到的两个方程相减，求得tan

α+β

2

的值，再用二倍角公式求出tan（α+β）的值．

解答：解：（Ⅰ）∵sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
∴方程化为sin（x+

π

3

）=-

a

2

．
∵方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解，
∴sin（x+

π

3

）≠sin

π

3

=

3

2

．
又sin（x+

π

3

）≠±1（∵当等于

3

2

和±1时仅有一解），
∴|-

a

2

|＜1．且-

a

2

≠

3

2

．即|a|＜2且a≠-

3

．
∴a的取值范围是（-2，-

3

）∪（-

3

，2）．
（Ⅱ）∵α、β是方程的相异解，
∴sinα+

3

cosα+a=0①．
sinβ+

3

cosβ+a=0②．
①-②得（sinα-sinβ）+

3

（cosα-cosβ）=0．
∴2sin

α-β

2

cos

α+β

2

-2

3

sin

α+β

2

sin

α-β

2

=0，又sin

α+β

2

≠0，
∴tan

α+β

2

=

3

3

．
∴tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

3

．

点评：本题主要考查三角函数中的两角和公式．解题的关键既要熟练掌握公式，又要灵活利用特殊角．