Question

己知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，且S₁，S₃，S₂成等差数列．
（I）求公比q；
（Ⅱ）若，，问数列{T_n}是否存在最大项？若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴a₂=a₁q，．
∴S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，．
又∵S₁，S₃，S₂成等差数列，
∴2S₃=S₁+S₂，∴2（a₁+a₁q+）=a₁+（a₁+a₁q），
∵a₁≠0，∴2（1+q+q²）=2+q，∴2q²+q=0，
又∵q≠0，∴．
（Ⅱ）∵，q=，
∴=，
∴==，
∴==，
∵2ⁿ⁺¹-2≥2，
∴T_n≤T₁=．
所以数列{T_n}的最大值为．
分析：（Ⅰ）本题先根据等比数列的通项公式得a₂=a₁q，a₃=a₁q²；进而由前n项和的意义可表示出S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，S₃=a₁+a₁q+，再利用等差数列的意义可得2S₃=S₁+S₂，于是 2（a₁+a₁q+）=a₁+（a₁+a₁q），由此方程不难求出公比q=；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式=，于是==，进而可求出==，再根据指数函数的单调性求出其最大值．
点评：本题要求学生熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式，并进行有关计算．同时会根据指数函数类型的单调性求最值．