Question

已知正数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=，数列{b_n}是首项为1，公比为的等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c=a_nb_n，求：数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用即可得出a_n；利用等比数列的通项公式即可得出b_n；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“放缩法”和“裂项求和”即可得出．
解答：解：（1）由，
当n=1时，，∴a₁=1，
当，
∴，
即（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，∵a_n＞0，
∴数列{a_n}是a₁=1，d=2的等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
∵数列{b_n}是首项为1，公比为的等比数列．
∴=．
（2）c_n=a_nb_n=，T_n=c₁+c₂+…+c_n
，①
，②
①-②得=1+1++…+=-1-=3--，
∴
（3）∵=n²，
当n≥2，，
∴
===．
点评：熟练掌握、等比数列的通项公式、“错位相减法”、“放缩法”和“裂项求和”等是 解题的 关键．