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选修4-1:
如图,点A是以线段BC为直径的圆O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.
(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是圆O的切线.

【答案】分析:(1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC,得到对应线段成比例,再结合已知条件可得BF=EF;
(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合BE是圆的切线,得到PA⊥OA,从而得到PA是圆O的切线.
解答:证明:(1)∵BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC,∴AD∥BE.
可得△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC.
,得
∵G是AD的中点,即DG=AG.
∴BF=EF.
(2)连接AO,AB.
∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°.
由(1)得:在Rt△BAE中,F是斜边BE的中点,
∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB.
又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.
∵BE是圆O的切线,
∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,
∴PA⊥OA,由圆的切线判定定理,得PA是圆O的切线.
点评:本题求证直线是圆的切线,着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是圆O的切线.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是圆O的切线.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南师大附中高三(上)11月月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

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(2)求证:PA是圆O的切线.

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