Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1
（1）求曲线C的方程.
（2）是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：

化简得.
(Ⅱ)设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为A，B。
设l的方程为x=ty+m，由得，△=16（+m）>0，
于是①
又。
=+1+<0②
又，于是不等式②等价于

③
由①式，不等式③等价于
④
对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
，即。
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有，且m的取值范围。

(1)由题意知曲线C上的点到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等.
可确定其轨迹是抛物线，即可求出其方程为y²=4x.
(2)设过点M的直线方程为x=ty+m,然后与抛物线方程联立，消去x,利用韦达定理表示出,再证明其小于零即可.