Question

如图1所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD与直线l、圆O分别交于点D、E．
（1）求∠DAC的大小及线段AE的长；
（2）如图2所示，将△ACD沿AC折起，点D折至点P处，且使得△ACP所在平面与圆O所在平面垂直，连接BP，求二面角P-AB-C大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，则OC∥AD，根据Rt△AEB≌Rt△BCA，即可求出AE的值；
（2）过P作PH⊥AC于H，过H作HF⊥AB于F，连接PF，则PF⊥AB，故∠PFH为二面角P-AB-C的平面角，在Rt△APC中，求出PH，根据勾股定理求出AH，在Rt△AFH中，求出∠PFH的余弦值．

解答：解：（1）连接OC，则OC∥AD，CB=OB=OC，
∴∠COB=∠EAO=60°，∠CAO=30°，
∴Rt△AEB≌Rt△BCA，
∴CB=AE=3．（5分）
（2）过P作PH⊥AC于H，由于平面PAC⊥平面⊙O，则PH⊥平面⊙O．
过H作HF⊥AB于F，连接PF，则PF⊥AB，故∠PFH为二面角P-AB-C的平面角．（8分）
在Rt△APC中，PH=AP•sin30°=AC•cos30°•sin30°=3

3

×

3

2

×

1

2

=

9

4

，
AP²=AH•AC得AH=

AP2

AC

=

9 3

4

，
在Rt△AFH中，FH=AHsin30°=

9 3

8

，
故tan∠PFH=

PH

PF

=

9 4

9 3 8

=

2 3

3

．故cos∠PFH=

21

7

．（12分）

点评：本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．