Question

如图，已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²＋y²－6x－2y＋7＝0相切．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)将圆的一般方程化为标准方程

　　，圆的圆心为，半径．

　　由，得直线，

　　即，

　　由直线与圆相切，得，

　　或(舍去)　　2分

　　当时，，

　　故椭圆的方程为　　4分

　　(Ⅱ)(方法一)由知，从而直线与坐标轴不垂直，

　　由可设直线的方程为，

　　直线的方程为．

　　将代入椭圆的方程

　　并整理得；　　6分

　　解得或，因此的坐标为，

　　即　　8分

　　将上式中的换成，得．

　　直线的方程为

　　化简得直线的方程为，

　　因此直线过定点　　12分

　　(方法二)由题直线的斜率存在，则可设直线的方程为：

　　，

　　代入椭圆的方程并整理得；

　　，

　　设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而

　　

　　由得

　　，

　　

　　整理得：由知．

　　此时，因此直线过定点．