Question

20．已知函数f（x）=xe^ax+lnx-e（a∈R）．
（I）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）设g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-e，若函数h（x）=x•[f（x）-g（x）]在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（II）化简函数h（x），由题意可得x²e^ax-1=0在（0，+∞）有两个零点．对a讨论，注意运用单调性和极值判断，即可得到a的范围．

解答 解：（I）y=f（x）的定义域为（0，+∞），
∵a=1，∴f（x）=xe^x+lnx-e，f（1）=0，
∴$f'（x）=（{x+1}）{e^x}+\frac{1}{x}$，∴f'（1）=2e+1，
所以函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（2e+1）（x-1）；
（II）$h（x）=x•[{f（x）-g（x）}]=x[{x{e^{ax}}+lnx-e-（{lnx+\frac{1}{x}-e}）}]=x•（{x{e^{ax}}-\frac{1}{x}}）$
=x²e^ax-1在定义域内存在两个零点，即x²e^ax-1=0在（0，+∞）有两个零点．
令φ（x）=x²e^ax-1，φ'（x）=ax²e^ax+2xe^ax=xe^ax（ax+2），
i、当a≥0时，φ'（x）=xe^ax（ax+2）＞0，∴y=φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
由零点存在定理，y=φ（x）在（0，+∞）至多一个零点，与题设发生矛盾．
ii、当a＜0时，xe^ax（ax+2）=0，则$x=-\frac{2}{a}$，

x	$（{0，-\frac{2}{a}}）$	$-\frac{2}{a}$	$（{-\frac{2}{a}，+∞}）$
φ'（x）	+	0	-
φ（x）	单调递增	极大值	单调递减

因为φ（0）=-1，当x→+∞，φ（x）→-1，
所以要使φ（x）=x²e^ax-1在（0，+∞）内有两个零点，
则$φ（{-\frac{2}{a}}）＞0$即可，得${a^2}＜\frac{4}{e^2}$，又因为a＜0，所以$-\frac{2}{e}＜a＜0$．
综上，实数a的取值范围为$（{-\frac{2}{e}，0}）$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．