【题目】设f(x)为定义在R上的偶函数,且0≤x≤2时,y=x;当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)写出函数f(x)的值域和单调区间.
【答案】(1)f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2);(2)值域为{y|y≤4}.单调增区间为(-∞,-3],[0,3],单调减区间为[-3,0],[3,+∞).
【解析】
(1)先根据题意求出a=-2,再利用代入法求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;(2)作出函数f(x)的图像,写出函数f(x)的值域和单调区间.
解:(1)当x>2时,设f(x)=a(x-3)2+4.
∵f(x)的图象过点A(2,2),∴f(2)=a(2-3)2+4=2,
∴a=-2,
∴f(x)=-2(x-3)2+4.
设x∈(-∞,-2),则-x>2,
∴f(-x)=-2(-x-3)2+4.
又因为f(x)在R上为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴f(x)=-2(-x-3)2+4,
即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2).
(2)函数f(x)图象如图所示.
由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}.单调增区间为(-∞,-3],[0,3].
单调减区间为[-3,0],[3,+∞).
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【题目】已知10件不同产品中有3件是次品,现对它们一一取出(不放回)进行检测,直至取出所有次品为止.
(1)若恰在第5次取到第一件次品,第10次才取到最后一件次品,则这样的不同测试方法数有多少?
(2)若恰在第6次取到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
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【题目】《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别为十步和二十步,正从为十步,其内有一块广为八步,正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树,求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知,,,,,,记动点的轨迹为.
(1)求曲线的轨迹方程.
(2)若斜率为的直线与曲线交于不同的两点、,与轴相交于点,则是否为定值?若为定值,则求出该定值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】某企业对现有设备进行了改造,为了了解设备改造后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测其质量指标值,若质量指标值在内,则该产品视为合格品,否则视为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.
(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关:
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(2)根据图1和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价180元;质量指标值落在或内的定为二等品,每件售价150元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元.根据频数分布表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为(单位:元),求的分布列和数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费,超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次),且两人停车的时间均不超过5小时,设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示:
(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量,求的分布列及数学期望.
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