Question

有下列命题：
①若非零向量

a

、

b

，满足

a

•

b

=0，则一定有

a

⊥

b

；
②将函数y=cos2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin（2x-

π

6

）的图象；
③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|≥2，则-2＜x＜2”；
④方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是

D

2

+E2-4F≥0；
⑤对于命题p：?x∈R．使得x²+x+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0．
其中假命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：①据课本必修4中的结论：非零向量

a

、

b

，若

a

•

b

=0，则一定有

a

⊥

b

．
②据平移变换的法则：“左加右减”可知，将函数y=cos2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=cos[2(x-

π

3

)]，再据诱导公式可进一步化出其表达式．
③命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．据此可以判断出③的真假．
④将方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0配方化为(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，可以判断出④的真假．
⑤对于命题：“?x∈R，结论p成立”，则命题的否定是：“?x∈R，结论p的反面成立”据此可判断出其真假．

解答：解：①非零向量

a

•

b

=0，则一定有

a

⊥

b

．
②将函数y=cos2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=cos[2(x-

π

3

)]=cos(2x-

2π

3

)=cos(

2π

3

-2x)=cos[

π

2

-(2x-

π

6

)]=sin（2x-

π

6

）
的图象，故②正确．
③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题应是“若|x|＜2，则-2＜x＜2”，故③不正确．
④∵方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0⇒(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，
∴只有当

D

2

+E2-4F＞0时，方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0才表示一个圆，
因此④不正确．
⑤据命题：“?x∈R，结论p成立”，则命题的否定是：“?x∈R，结论p的反面成立”，
可知“命题p：?x∈R．使得x²+x+＜0，则￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0”正确．
故答案为③④．

点评：本题综合考查了向量的数量积与垂直的关系、三角函数图象的变换与诱导公式、四种命题间的关系、圆的方程及命题的否定，解决问题的关键是掌握好有关基础知识及判断方法．