Question

（2010•南京三模）对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[0，

π

2

]上单调递增，在区间[-

π

2

，0]上单调递减．
其中是真命题的是

①④

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：本题中①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；②研究的是函数的周期性，利用周期性定义证明之；③研究的是函数的图象对称性，可以利用对称性的性质来证明；④研究函数的单调性，可用两个函数相乘时单调性的判断方法进行判断．

解答：解：对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数①正确；
对于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函数f（x）的最小正周期是2π，②不正确；
对于③，由于f（

π

2

）+f（

3π

2

）=

π

2

-

3π

2

=-π≠0故点（π，0）不是函数f（x）的图象的一个对称中心，故③不正确；
对于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在区间[-

π

2

，0]上f'（x）＜0，由此知函数f（x）在区间[0，

π

2

]上单调递增，在区间[-

π

2

，0]上单调递减，故④正确．
故答案为：①④

点评：本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．