Question

若（4tanα+1）（1-4tanβ）=17，则tan（α-β）的值为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．4
• D．12

Answer 1

分析：可将（4tanα+1）（1-4tanβ）=17展开，得到tanα-tanβ=4（1+tanαtanβ），讨论1+tanαtanβ≠0之后，逆用两角差的正切即可．

解答：解：∵（4tanα+1）（1-4tanβ）=17，即4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17，
∴4tanα-4tanβ-16tanαtanβ=16，
∴tanα-tanβ=4（1+tanαtanβ），
若1+tanαtanβ=0，则tanα-tanβ=4（1+tanαtanβ）=0，
∴tanα=tanβ，
∴1+tanαtanβ=1+tan²α＞0，与1+tanαtanβ=0矛盾，
∴1+tanαtanβ≠0，
∴

tanα-tanβ

(1+tanαtanβ)

=4，又tan（α-β）=

tanα-tanβ

(1+tanαtanβ)

，
∴tan（α-β）=4．
故选C．

点评：本题考查两角差的正切，易错点在于忽略了对1+tanαtanβ≠0的分析，着重考查两角差的正切公式的逆用，属于中档题．