Question

18．如图，x轴非负半轴平分∠AOB，∠AOx=α，动圆P截OA所得弦MN=2a，截OB所得弦SQ=2b，试求动圆圆心P的轨迹方程．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，由题意∠AOB=2α，利用勾股定理，确定d₁²-d₂²=b²-r²，即可求动圆圆心P的轨迹方程．

解答 解：建立如图所示的坐标系，由题意∠AOB=2α，动圆在角两边OA，OB上截得弦长分别为|MN|=2a，|QS|=2b，
设P（x，y）为轨迹上任一点，设动圆半径为r，点P到OA，OB的距离分别为|PC|=d₁，|PD|=d₂，
∴d₁²+a²=d₂²+b²=r²，
∴d₁²-d₂²=b²-r²，①
直线OA，OB的方程分别为OA：xsinα-ycosα=0，OB：xsinα+ycosα=0
∴d₁=|xsinα-ycosα|，d₂=|xsinα+ycosα|
代入①化简可得2xysin2α=a²-b²．

点评 本题考查轨迹方程，考查直接法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．