Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心AA1=2

2

，C1H⊥平面AA₁B₁B且C1H=

5

．
（1）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；
（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．

解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得A(2

2

，0，0)，B（0，0，0），C(

2

，-

2

，

5

)，A1(2

2

，2

2

，0)，
B1(0，2

2

，0)，C1(

2

，

2

，

5

)．
（1）易得

AC

=(-

2

，-

2

，

5

)，

A1B1

=(-2

2

，0，0)
于是cos＜

AC

，

A1B1

＞=

AC • A1B1

| AC | | A1B1|

=

4

3×2 2

=

2

3

．
∴异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为

2

3

．
（2）易知

AA1

=(0，2

2

，0)，

A1C1

=(-

2

，-

2

，

5

)．
设平面AA₁C₁的法向量

m

=(x，y，z)，则

m • A1C1 =0 m • AA1 =0

，即

- 2 x- 2 y+ 5 z=0 2 2 y=0

，
不妨令x=

5

，则z=

2

，可得

m

=(

5

，0，

2

)．
同样可设面A₁B₁C₁的法向量

n

=(x1，y1，z1)，得

n

=(0，

5

，

2

)．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

7 7

=

2

7

，∴sin＜

m

，

n

＞=

3 5

7

．
∴二面角A-A₁C-B₁的正弦值为

3 5

7

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．