Question

如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点E、F、G分别为CD、PD、PB的中点．PA=AD=2．
（1）证明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F-AE-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线性质，可得PC∥EF，利用线面平行的判定，即可得出结论；
（2）设H，M分别为AE，AD的中点，连接FM，MH，证明∠FHM为二面角F-AE-D的平面角，即可求出二面角F-AE-D的平面角的正切值．

解答：（1）证明：∵点E、F分别为CD、PD的中点，
∴PC∥EF
∵PC?平面FAE，EF?平面FAE，
∴PC∥平面FAE；
（2）解：由题意，CD⊥AE
设H，M分别为AE，AD的中点，连接FM，MH
∵F是PD的中点，
∴FM∥PA，MH∥DE
∵PA⊥平面ABCD，
∴FM⊥平面ABCD，
∵CD⊥AE，
∴MH⊥AE
∴∠FHM为二面角F-AE-D的平面角
∵PA=AD=2，
∴在直角△FMH中，FM=1，MH=

1

2

∴tan∠FHM=

FM

MH

=2，
即二面角F-AE-D的平面角的正切值为2．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．