Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n，

1

2

成等差数列，
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=4-2n（n∈N^*），设cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n，a_n，

1

2

成等差数列，可得2an=Sn+

1

2

，从而可求
（2）由2an=Sn+

1

2

可得，2S_n=4a_n-1（n≥1），利用2S_n-1=4a_n-1-1，两式相减得整理可得a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式可求
（3）由题意可得，Cn=(4-2n)×(

1

2

)n-2，根据数列通项的特点考虑利用错位相减可求

解答：解：（1）由S_n，a_n，

1

2

成等差数列，可得2an=Sn+

1

2

，∴a1=

1

2

，a₂=1
（2）由2an=Sn+

1

2

可得，2S_n=4a_n-1（n≥1），∴2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2）
∴两式相减得2a_n=（4a_n-1）-（4a_n-1-1）=4a_n-4a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=

1

2

×2n-1=2n-2（n∈N^*）
（3）由题意可得，Cn=(4-2n)×(

1

2

)n-2
T_n=C₁+C₂+…+C_n
=2×(

1

2

)-1+0×(

1

2

)0+(-2)×(

1

2

)1+…+(4-2n)×(

1

2

)n-2

1

2

Tn=2×(

1

2

)0+0×(

1

2

)1+…+(4-2n)×(

1

2

)n-1
错位相减可得，

1

2

Tn=2n×( 

1

2

)n-1
Tn=4n×(

1

2

)n-1

点评：本题主要考查了利用递推公式构造求解数列的通项公式，而错位相减求解数列的和是数列求和的难点和重点，要注意该方法的掌握．