Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2，且P，Q，M分别是BB1 ， CC1 ， B1C1的中点，AB⊥AQ．

（1）求证：AB⊥AC；
（2）求证：AQ∥平面A1PM；
（3）求AQ与平面BCC1B1所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵A1A⊥面ABC，而AB面ABC，∴AB⊥A1A，

又∵AB⊥AQ，

∴AB⊥面ACC1A1，

又∵AC面ACC1A1，

∴AB⊥AC

（2）证明：取BC的中点G，连接AG、QG、BC1，

∵P、M分别是BB1、B1C1的中点，

∴MP∥BC1，

同理：QG∥BC1，

∴QG∥MP，

又∵M为B1C1的中点，G为BC中点，

∴A1M∥AG，

又∵QG∥MP，

∴面APQ∥面A1PM，

∴AQ∥平面A1PM

（3）解：取BC的中点G，连接AG、DG，

∵AB=AC=1，

∴AG⊥BC，

又∵AG⊥BB1，

∴AG⊥面BCC1B1，

故∠AQG为直线AQ与平面BCC1B1所成角，

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC=1，则BC= 且AG= ，

在Rt△AQG中，AG= ，GQ= = ，

则tan∠AQG= = ，

则∠AQG=30°．

【解析】（1）由于三棱柱中侧棱与底面垂直，分析可得AB⊥A1A，又由题干条件AB⊥AQ，由线面垂直的判定定理即可得证明；（2）取BC的中点G，连接AG、QG、BC1 ， 由中位线的性质可得可得MP∥BC1与QG∥BC1 ， 进而可得QG∥MP，分析可得A1M∥AG，由面面平行的判定方法可得面APQ∥面A1PM，进而结合面面平行的性质可得证明；（3）取BC的中点G，连接AG、DG，分析易得AG⊥面BCC1B1 ， 进而由线面角的定义可得∠AQG为直线AQ与平面BCC1B1所成角；在△ABC中分析可得BC= AG= ，进而在Rt△AQG中，计算可得AG= ，GQ= = ，由正切的定义可得tan∠AQG= = ，计算即可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．