【题目】已知椭圆的离心率
,一条准线方程为
过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q.
求椭圆的方程;
若直线AP,AQ与x轴交点的横坐标分别为m,n,求证:mn为常数,并求出此常数.
【答案】(1);(2)
为常数2.
【解析】
利用
,
,及其
,解出即可得出;
证法一:设P点坐标为
,则Q点坐标为
可得
,直线AP的方程为
令
,解得
同理可得
再利用
在椭圆
上,即可得出mn;解法二:设直线AP的斜率为
,则AP的方程为
,令
,得
联立
,解得P,则可得Q点的坐标
可得
,可得直线AQ的方程,可得n,即可得出.
,
,
解得,
,
.
故椭圆的方程为.
证法一:设P点坐标为
,则Q点坐标为
,
直线AP的方程为
.
令,解得
.
,
直线AQ的方程为
.
令,解得
.
.
又在椭圆
上,
,即
,
.
以mn为常数,且常数为2.
解法二:设直线AP的斜率为,则AP的方程为
,
令,得
.
联立
消去y,得,解得
,
,
,
则Q点的坐标为
,
故直线AQ的方程为.
令,得
,
.
为常数,常数为2.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为
,且经过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线与椭圆C相交于点M,N,椭圆C的左右顶点为
,直线
与
相交于点
,证明点
在定直线上,并求出定直线的方程.
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【题目】(本小题满分12分)已知在四棱锥中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,
,
分别是线段
,
的中点.
(1)判断并说明上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不
存在,请说明理由;
(2)若与平面
所成的角为
,求二面角
的平面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆C:的离心率为
,且过点
.
求椭圆的标准方程;
设直线l经过点
且与椭圆C交于不同的两点M,N试问:在x轴上是否存在点Q,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在,求出点Q的坐标及定值,若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标坐标系中,过点P(1,0)的直线l的参数方程为
(
为参数,
),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知顶点在极轴上,开口向右的抛物线C经过极坐标为(2,
)的点Q.
(1)求C的极坐标方程;
(2)若l与C交于A、B两点,且|PA|=2|PB|,求tan的值。
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【题目】[选修4一4:坐标系与参数方程]已知直线l过原点且倾斜角为,
,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为psin
=4cos
.
(I)写出直线l的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线l过原点且与直线l相互垂直,若lC=-M,l
C=N,其中M,N不与原点重合,求△OMN 面积的最小值.
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【题目】某中学高一女生共有450人,为了了解高一女生的身高情况,随机抽取部分高一女生测量身高,所得数据整理后列出频率分布表如下:
组别 | 频数 | 频率 |
145.5~149.5 | 8 | 0.16 |
149.5~153.5 | 6 | 0.12 |
153.5~157.5 | 14 | 0.28 |
157.5~161.5 | 10 | 0.20 |
161.5~165.5 | 8 | 0.16 |
165.5~169.5 | ||
合计 |
(1)求出表中字母所对应的数值;
(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图;
(3)估计该校高一女生身高在149.5~165.5范围内有多少人?
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