Question

（2011•湖北模拟）已知点P（x₀，y₀）是椭圆E：

x2

2

+y2=1上任意一点x₀y₀≠1，直线l的方程为

x0x

2

+y0y=1
（I）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（II）直线l₀过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l₀的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．

Answer 1

分析：（I）由

x2 2 +y2=1 x0x 2 +y0y=1

，得

x02+2y02

4

x2-x0x+1-y02=0，由

x02

2

+y02=1，知y02=

2-x02

2

，所以x²-2x₀x+x₀²=0，再由根的判别式知直线l与椭圆E只有一个交点．
（II）直线l₀的方程为2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．设M（-1，0）关于直线l₀的对称点N的坐标为N（m，n），则

n m+n =- x0 2y0 2y0• m-1 2 - x0n 2 -x0y0=0

，由此能够导出直线PN恒过定点G（1，0）．

解答：解：（I）由

x2 2 +y2=1 x0x 2 +y0y=1

，消去y，并整理得

x02+2y02

4

x2-x0x+1-y02=0，…（2分）
∵

x02

2

+y02=1，∴y02=

2-x02

2

，
∴x²-2x₀x+x₀²=0，…（4分）
∴△=4x₀²-4x₀²=0，
故直线l与椭圆E只有一个交点…（5分）
（II）直线l₀的方程为x₀（y-y₀）=2y₀（x-x₀），
即2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．…（6分）
设M（-1，0）关于直线l₀的对称点N的坐标为N（m，n），
则

n m+1 =- x0 2y0 2y0• m-1 2 - x0n 2 -x0y0=0

，
解得

m= 2x03+3x0 2-4x0-4 x02-4 n= 2x04+4x03-4x02-8x0 2y0(4-x02)

．…（8分）
∴直线PN的斜率为k=

n-y0

m-x0

=

x04+4x0 3+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

，
从而直线PN的方程为
y-y0= 

x04+4x03+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

(x-x0)，
即x=

2y0(-x03-3x02+4)

x04+4x03+2x02-8x0-8

×y+1，
从而直线PN恒过定点G（1，0）．…（12分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是计算量大，容量算错，要多加注意．