Question

19．已知圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=9，过点P（-2，4）作圆C的切线PA、PB，A、B为切点．
（1）求切线PA、PB的方程；
（2）求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，切线斜率存在，设切线的斜率为k，切线方程为y-4=k（x+2），由点到直线的距离公式能求出切线的方程．
（2）求出四边形PACB的面积，S_△ACB，即可求△PAB的面积．

解答 解：（1）切线斜率不存在时，直线x=-2，满足题意；
切线斜率存在时，设切线的斜率为k，切线方程为y-4=k（x+2），即kx-y+2k+4=0
由点到直线的距离公式得：$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解之得：k=$\frac{5}{12}$，方程为5x-12y+58=0．
故所求切线方程分别为：x=-2或，5x-12y+58=0．
（2）由题意，PC=$\sqrt{13}$，PA=PB=2，四边形PACB的面积为2×$\frac{1}{2}×2×3$=6，
sin∠BCP=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，cos∠BCP=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
∴sin∠ACB=$\frac{12}{13}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{12}{13}$=$\frac{54}{13}$，
∴△PAB的面积S=6-$\frac{54}{13}$=$\frac{24}{13}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．