Question

（2013•哈尔滨一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x-1|+|x-5|-5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．
（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x-1|+|x-5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，解之得x＜

1

2

；
②当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，无实数解；
③当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，解之得x＞

11

2

综上所述，函数f（x）的定义域为（-∞，

1

2

）∪（

11

2

，+∞）．
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）_min即a＜4，可得实数a的取值范围是（-∞，4）．

点评：本题给出含有绝对值的对数形式的函数，求函数的定义域并讨论不等式恒成立．着重考查了函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法与性质等知识，属于中档题．