Question

双曲线C：="1" (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使·=0，求此双曲线离心率的取值范围.

Answer 1

设P点坐标为（x,y），
则由·=0，得AP⊥PQ，
则P点在以AQ为直径的圆上，
即+y²=           ①
又P点在双曲线上，得="1    " ②
由①，②消去y,得
(a²+b²)x²-3a³x+2a⁴-a²b²=0.
即［（a²+b²）x²-（2a³-ab²）］（x-a）=0.
当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去.
当x=时，满足题意的P点存在，
需x=＞a,化简得a²＞2b²,
即3a²＞2c²,＜.∴离心率e=∈.