Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣ y+6=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使 2+ 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：）由离心率为 ，得 = ，

即c= a，①

又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，

且与直线 相切，

所以 ，代入①得c=2，

所以b2=a2﹣c2=2．

所以椭圆C的标准方程为 + =1．

（2）解：由 ，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，

△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

所以x1+x2= ，x1x2= ，

根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），

使得 为定值，

则有 =（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）

=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）

=（k2+1） ﹣（2k2+m） +（4k2+m2）

= ，

要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），

即 ，此时 = 为定值，定点E为 ．

【解析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使 为定值，定点为（ ，0）．