Question

（2012•河北模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

• A．f(x)=2sin(

  1

  2

  x+

  π

  4

  )
• B．f(x)=4sin(

  1

  2

  x+

  π

  4

  )
• C．f(x)=2sin(x+

  π

  4

  )
• D．f(x)=4sin(

  1

  2

  x+

  3π

  4

  )

Answer 1

分析：根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，进而根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案．

解答：解：根据题意，对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），
由导函数的图象可知：导函数的周期为2[

3π

2

-（-

π

2

）]=4π，
则有T=

2π

ω

=4π，解得ω=

1

2

，
由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，
∴导函数f′（x）=2cos（

1

2

x+φ），
把（-

π

2

，2）代入得：4cos（-

π

4

+φ）=2，且|φ|＜

π

2

，
解得φ=

π

4

，
则f（x）=4sin（

1

2

x+

π

4

）．
故选B．

点评：此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．