Question

10．过圆O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD，从A点作弦AE平行于CD，连接BE交CD于F．
（Ⅰ）求证：A、F、B、P四点共圆．
（Ⅱ）求证：BE平分线段CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦AE平行于CD，可得∠PFB=∠AEB，根据切线长定理可得∠POB=∠AEB，进而可得O，F，B，P四点共圆，利用O，A，B，P四点共圆，可得A、F、B、P四点共圆．
（Ⅱ）再由圆周角定理可得∠OFP=90°，再由垂径定理可得CF=DF，即可证明BE平分线段CD．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE∥CD
∴∠PFB=∠AEB
又PA，PB均⊙O的切线
故OP平分$\widehat{AB}$，由圆周角定理和圆心圆定理可得∠POB=∠AEB
∴∠PFB=∠POB
由四点共圆判定定理的推论可得O，F，B，P四点共圆，
∵O，A，B，P四点共圆，
∴A、F、B、P四点共圆．
（Ⅱ）由PB为圆O的切线，OB为过切点的半径
可得∠OBP=90°
再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠OFP=90°
再由垂径定理可得CF=DF，
∴BE平分线段CD．

点评 本题考查的知识点是圆内接四边形，圆周角定理，垂径定理，其中判断出O，F，B，P四点共圆是解答的关键，本题用到的知识点比较多，相互转化也比较困难，难度较大．