Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE=CF=CP=1，今将△BEP、△CFP分别沿EP、FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合（如图2），B、C折后的对应点分别记为B、C₁．
（1）求证：PF⊥平面B₁EF；
（2）求AB₁与平面AEPF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接EF，根据已知条件我们根据勾股定理及等腰三角形形的性质，我们可以得到PF⊥EF，PF⊥B₁F，结合直线与平面垂直的判定定理，即可得到PF⊥平面B₁EF；
（2）连接AB₁，作B₁O⊥EF于O，结合（1）的结论，我们可得平面B₁EF⊥平面AEPF，进而得到B₁O⊥平面EPF，即∠B₁AO就是AB₁与平面AEPF所成的角，解三角形B₁AO即可求出AB₁与平面AEPF所成的角的正弦值．

解答：解：（1）证明：连接EF，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
故PF⊥EF，又FC₁=

1

2

PB₁，
故PF⊥B₁F，
∵EF∩B₁F=F，故PF⊥平面B₁EF；
（2）连接AB₁，作B₁O⊥EF于O，
由（1）知PF⊥平面B₁EF，而PF?平面AEPF，
故平面B₁EF⊥平面AEPF
∵平面B₁EF∩平面AEPF=EF
∴B₁O⊥平面EPF
∠B₁AO就是AB₁与平面AEPF所成的角
∵AE∥PF，∴AE⊥EB₁，
∵AE=1，EB₁=2
∴B₁A=

5

在△B₁EF中，B₁E=2，B₁F=EF=

EP2-FP2

=

3

∴cos∠B₁FE=

1

3

则B₁O=B₁F•sin∠B₁FE=

2 6

3

故sin∠B₁AO=

B1O

AB1

=

2 30

15

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得PF⊥EF，PF⊥B₁F，（2）的关键是确定∠B₁AO就是AB₁与平面AEPF所成的角．