Question

（2013•成都二模）设函数f（x）=x²过点C₁（1，0）作X轴的垂线l₁交函数f（x）图象于点A₁，以A₁为切 点作函数f（x）图象的切线交x轴于点C₂，再过C₂作x轴的垂线l₂交函数f（x）图象于点 A₂，…，以此类推得点A_n，记A_n的横坐标为a_n，n∈N⁺．
（I）证明数列{a_n}为等比数列并求出通项公式a_n；
（II）设直线l_n与函数g（x）=log

1

2

x：的图象相交于点B_n，记bn=

OAn

•

OBn

（其中O为坐标原点），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）求导函数，可得以点A_n-1（a_n-1，

a

2 n-1

）为切点的切线方程，从而可得数列{a_n}以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
即可求出通项公式a_n；
（II）利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（I）证明：∵函数f（x）=x²，∴f′（x）=2x，
∴以点A_n-1（a_n-1，

a

2 n-1

）为切点的切线方程为y-

a

2 n-1

=2a_n-1（x-a_n-1）．
当y=0时，得x=

1

2

a_n-1，即a_n=

1

2

a_n-1．
又∵a₁=1，∴数列{a_n}以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴通项公式为a_n=（

1

2

）^n-1
（II）解：根据题意，得B_n（（

1

2

）^n-1，n-1），∴b_n=

OAn

•

OBn

=（

1

4

）^n-1+（

1

4

）^n-1（n-1）=n（

1

4

）^n-1，
∴S_n=1×（

1

4

）⁰+2×（

1

4

）¹+…+n×（

1

4

）^n-1，
∴

1

4

S_n=1×（

1

4

）¹+2×（

1

4

）²+…+n×（

1

4

）ⁿ，
相减，得

3

4

S_n=1×（

1

4

）⁰+1×（

1

4

）¹+…+（

1

4

）^n-1-n×（

1

4

）ⁿ=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-n×(

1

4

)n
∴Sn=

16

9

-

3n+4

9×4n-1

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．