Question

如图,椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A，B,右焦点为F,且.
(I) 求椭圆的标准方程；
(II)过椭圆的右焦点F作直线，直线l₁与椭圆分别交于点M,N，直线l₂与椭圆分别交于点P,Q,且，求四边形MPNQ的面积S的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为,则由题意知,
又∵即∴,
故椭圆的方程为:……………………………………………….2分
(Ⅱ)设.
则由题意, ,
即  
整理得,
即
所以………………………………………………………………6分
(注: 证明,用几何法同样得分)
①若直线中有一条斜率不存在,不妨设的斜率不存在,则可得轴,
∴ ,
故四边形的面积…….…….…….7分
②若直线的斜率存在,设直线的方程: ,则
由得,
设,则
…………….9分
同理可求得，………………………….10分
故四边形的面积:
取“=”,
综上，四边形的面积的最小值为

略