Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，

（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；

（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）点的坐标为．

【解析】

（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程；

（2）（i）设，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；

（ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标.

解：（1）由题意得， ，所以，

所以椭圆方程为

（2）设， 的中点为，

（ⅰ）证明：由，可设直线的方程为，

代入椭圆方程，得，

所以，

所以，则直线的斜率为，

因为，所以，

所以三点共线，所以平分线段；

（ii）由两点间的距离公式得

由弦长公式得

所以，

令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4，

所以当取最小值时，点的坐标为