Question

已知圆C：x²+y²=4，点D（4，0），坐标原点为O．圆C上任意一点A在X轴上的影射为点B已知向量

OQ

=t

OA

+（1-t）

OB

（t∈R，t≠0）
（1）求动点Q的轨迹E的方程
（2）当t=

3

2

时，设动点Q关于X轴的对称点为点P，直线PD交轨迹E于点R （异于P点），试问：直线QR与X轴的交点是否为定点，若是定点，求出其坐标；若不是定点，请说明理由．

Answer 1

（1）设Q（x，y），A（x₀，y₀），则B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）
∴x0= x，y0=

y

t

∵

x

20

+

y

20

=4，x2+

y2

t2

=4
即轨迹E的方程为x2+ 

y2

t2

=4
（2）当t=

3

2

时，轨迹E为椭圆，方程为

x2

4

+

y2

3

=1…①
设直线PD的方程为y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0…②
由题意得，必有△＞0，故方程②有两个不等实根．
设点P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则Q（x₁，-y₁）
由②知，x1+x2= 

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

直线RQ的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x2

(x-x2)
当k≠0时，令y=0，得x=x2-

y2( x2-x1)

y2+y1

，将y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4）代入整理得
x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…③
再将x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入③计算得，x=1即直线QR过定点（1，0）

当k=0时，y₁=y₂=0，直线QR过定点（1，0）
综上可得，直线QR与x轴交于定点，该定点的坐标为（1，0）．