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如图,已知在空间四边形ABCD中,AB=AC=DB=DC,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面ABC;
(Ⅱ)若AB=5,BC=6,AD=4,求几何体ABCD的体积;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若G为△ABD的重心,试问在线段BC上是否存在点F,使GF∥平面ADE?若存在,请指出点F在BC上的位置,若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)∵AB=AC,E为BC中点,∴AE⊥BC,---(1分)
同理DE⊥BC,
又∵AE∩DE=E,AE、DE?平面ADE
∴BC⊥平面ADE,----(3分)
∵BC?平面ABC
∴平面ADE⊥平面ABC----(5分)
(Ⅱ)∵AB=5,∴AB=AC=DB=DC=5
∵BC=6,∴BE=3,Rt△ABE中,DE==4,同理AE=4,---(7分)
又∵AD=4,∴△ADE是边长为4的等边三角形,
∵BC⊥平面ADE
∴四面体ABCD的体积V=.----(9分)
(Ⅲ)假设在BC上取一点F,使GF∥平面ADE.
记AD的中点为H,在BC上取一点F,使BF=2,则FE=1,…(11分)
连接GF、EH
∵G为△ABD的重心,H为AD中点
,∴GF∥HE;
又HE?平面ADE,GF?平面ADE,∴GF∥平面ADE,
故在BC上存在一点F,使BF=2,则有GF∥平面ADE…(13分)
分析:(I)由等腰三角形“三线合一”,可证出AE⊥BC且DE⊥BC,再用线面垂直的判定定理可证出BC⊥平面ADE,从而得到平面ADE⊥平面ABC;
(II)根据题意可算出△ADE是边长为4的等边三角形,再结合BC⊥平面ADE,即可算出几何体ABCD的体积;
(III)记AD的中点为H,在BC上取一点F,使BF=2,连接GF、EH.根据三角形重心的性质得到线段成比例,从而GF∥EH,最后利用线面平行的判定得到GF∥平面ADE,
从而在BC上存在一点F,使GF∥平面ADE.
点评:本题给出一个特殊四面体,叫我们证明面面垂直并求四面体的体积,着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和锥体体积公式等知识,属于中档题.
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