Question

【题目】已知集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，若A∪B=A，求实数a，b满足的条件．

Answer 1

【答案】解：集合A={x|x2﹣1=0}={1，﹣1}，

∵A∪B=A，∴BA，∴集合B有4中情况：

①B=，②B={1，﹣1}，③B={﹣1}，④B={1}．

以下对4中情况逐一解答：

①B=，说明B中的方程无解，即△＜0，经化简得a2＜b；

②B={1，﹣1}，说明B中的方程有两个不同的解分别是1，﹣1，故△＞0，即a2＞b，

且满足 ，∴ ；

③B={﹣1}，说明B中的方程有两个相同的解，均为﹣1，故△=0，即a2=b，

且满足1+2a+b=0，∴ ；

④B={1}，说明B中的方程有两个相同的解，均为1，故△=0，即a2=b，

且满足1﹣2a+b=0，∴ ；

综上①②③④可得：a2＜b或 或 或 ．

【解析】根据题意可得出集合B有4中情况，逐一分情况讨论并结合利一元二次方程根的情况讨论△进而得出不同情况下a的取值范围，最后把这几种情况并起来即可的到a，b的值。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的并集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握并集的性质：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB，反之也成立．