Question

已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-·（x-30）²+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-（100-x）²+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.

（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？

（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？

（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来，能否还清对银行的欠款？

Answer 1

解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（万元），本利和为1 275万元.

（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）²+8］+{-［100-(100-x)］²+［100-(100-x)］}=(-x²+x-1)+(-x²+x)=-x²+52x-1=-(x-26)²+675.

    ∴投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.

    （3）因为P（x）在（0，30］上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W₁=2×P（20）=14（万元）；后3年的利润是W₂=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（万元），故5年的总利润是W=W₁+W₂=2 039万元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.