Question

18．已知P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是椭圆E的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为-$\frac{1}{5}$．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）过椭圆E的左焦点F₁的直线交椭圆E于A、B两点，F₂为椭圆E的右焦点，试求△AF₂B的内切圆半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出M，N的坐标，由直线的斜率公式，化简整理，可得b²=$\frac{1}{5}$a²，再由离心率公式计算即可得到；
（2）设过椭圆E的左焦点F₁（-c，0）的直线为x=my-c，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得|y₁-y₂|的最值，由三角形的面积公式和椭圆的定义，可得r的关系式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）M（-a，0），N（a，0），直线PM、PN的斜率之积为-$\frac{1}{5}$．
即为$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=-$\frac{1}{5}$，
化简可得5y₀²+x₀²=a²，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有b²=$\frac{1}{5}$a²，则c²=a²-b²=$\frac{4}{5}$a²，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）${C}_{△A{F}_{2}B}$=4a，又${S}_{△A{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}×r×$${C}_{△A{F}_{2}B}$，
所以r=$\frac{{S}_{△A{F}_{2}B}}{2a}$，又${S}_{△A{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，
所以r=$\frac{|{y}_{1}-{y}_{2}|}{\sqrt{5}}$；
设过椭圆E的左焦点F₁（-2b，0）的直线为x=my-2b，
代入椭圆方程可得（5+m²）y²-4mby-b²=0，
y₁+y₂=$\frac{4mb}{{m}^{2}+5}$，y₁y₂=-$\frac{-{b}^{2}}{{m}^{2}+5}$，
即有|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}b\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+5}$，
所以r=$\frac{{|y}_{1}-{y}_{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2b}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$≤$\frac{2b}{2\sqrt{4}}$=$\frac{b}{2}$，（当且仅当m=±1时等号成立）；
所以r∈（0，$\frac{b}{2}$]

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及化简整理的能力，考查二次函数的最值的求法，属于中档题．