Question

若x，y∈R，设函数f（x，y）=x²-2xy+2y²-x+y，则当f（x，y）取最小值时，x+y的值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设x+y=t，消y可得f（x，y）=5x²-2（1+3t）x+2t²+t，由二次函数知上式有最小值g（t）=

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（t²-t-1），再由二次函数可得t=

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2

时，f（x，y）取最小值．

解答： 解：设x+y=t，则y=t-x，
∴f（x，y）=x²-2xy+2y²-x+y
=x²-2x（t-x）+2（t-x）²-x+t-x
=5x²-2（1+3t）x+2t²+t，
上面式子可看做关于x的二次函数，
由二次函数知上式有最小值g（t）=

1

5

（t²-t-1），
上式是关于t的二次函数，当t=

1

2

时，f（x，y）取最小值，
故答案为：

1

2

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点评：本题考查不等式的性质，涉及二次函数的最值以及函数与方程的思想，属中档题．