Question

设函数，其中a为实数．
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=1时取极值，得到f′（1）=0，代入求出a值即可；
（2）把f（x）的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a＞0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可．
解答：解：（1）f′（x）=ax²-3x+（a+1）
由于函数f（x）在x=1时取得极值，
所以f′（1）=0
即a-3+a+1=0，∴a=1
（2）由题设知：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1
对任意a∈（0，+∞）都成立
即a（x²+2）-x²-2x＞0
对任意a∈（0，+∞）都成立
于是对任意a∈（0，+∞）都成立，
即∴-2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．
点评：考查学生会利用导数研究函数的极值，掌握不等式恒成立时所取的条件．以及会求一元二次不等式的解集．做题时学生应掌握转化的方法变形．