Question

如图，在体积为V₁的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，有如下四个命题；①BD₁=3AB；②BD₁与底面ABCD所成角是45°；
③；④MN∥平面D₁BC．其中正确命题的个数为

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：本题综合考查了空间中直线与平面之间的位置关系，球与正方体的体积等多个知识点，由BD₁为正方体的对角线等于棱长的倍等于正方体外接球的直径，我们易得①错误，②错误，③正确，根据线面平行的证明办法，我们易证④正确，分析后，即可给出答案．
解答：高正方体边长为a，则BD₁为正方体的对角线长，
故BD₁=a=AB，故①BD₁=3AB错误；
则BD₁与底面ABCD所成角为∠D₁BD
∵D₁D⊥底面ABCD，则cos∠D₁BD==≠
故②BD₁与底面ABCD所成角是45°错误；
此时正方体的外接圆直径为BD₁，
即R=a，则V₁=a³
V₂==
故③正确
取CD₁的中点E，连接BE后，易证MN∥BE，
根据线面平面的判定定理我们易得④MN∥平面D₁BC正确
故选C
点评：正方体的内切球直径等于棱长，正方体的外接球直径等于对角线长，等于棱长的倍．