Question

【题目】已知函数

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0.

【解析】

（1）根据建立关于的方程求出的值.

（2）本小题实质是在区间上恒成立，进一步转化为在区间上恒成立,

然后再讨论和两种情况研究.

（3）时，方程可化为,

问题转化为在上有解，

利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.

解：（1）

因为为的极值点，所以，即，解得.

又当时，，从而为的极值点成立．

（2）因为函数在上为增函数，所以

在上恒成立.

①当时，在上恒成立，

所以在上为增函数，故符合题意.

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，

故只能，所以在上恒成立.

令函数，其对称轴为，

因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，

即，所以.

因为，所以.

综上所述，的取值范围为.

（3）当时，方程可化为.

问题转化为在上有解，

即求函数的值域.

因为函数，令函数，

则，

所以当时，，从而函数在上为增函数，

当时，，从而函数在上为减函数，

因此.

而，所以，因此当时，取得最大值0．