Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，

m

=（cosA-2cosB），

n

（2c-a，b），且

m

∥

n

．（1）求

sinA

sinC

的值；（2）若b=

3

，且0＜B≤

π

3

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标及两向量平行的条件列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，即可求出所求式子的值；
（2）把（1）的结论利用正弦定理得到c=2a，由B的范围求出cosB的范围，利用余弦定理表示出cosB，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．

解答： 解：（1）∵

m

=（cosA-2cosB），

n

=（2c-a，b），且

m

∥

n

，
∴（cosA-2cosC）b-（2c-a）cosB=0，
由正弦定理化简得：cosAsinB-2cosCsinB=2cosBsinC-cosBsinA，即sin（A+B）=2sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴sinC=2sinA，
则

sinA

sinC

=

1

2

；
（2）由sinC=2sinA，利用正弦定理化简得：c=2a，
∵0＜B≤

π

3

，∴

1

2

≤cosB＜1，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=4a²+a²-4a²cosB=3，
整理得：cosB=

5a2-3

4a2

，
∴

1

2

≤

5a2-3

4a2

＜1，
解得：1≤a＜

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．