【题目】已知抛物线的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,以点F为圆心且过点A的圆M与x轴正半轴交于点B,AB的延长线交C于点D,AF的延长线交C于点E.
(1)若点A的纵坐标为4,求圆M的方程;
(2)若线段AD的中点为G,求证:轴;
(3)的面积是否存在最小值?若存在,请求出此最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1); (2)见解析;(3),理由见解析;
【解析】
(1)由题意求得点的坐标,求出圆心和半径,写出圆的方程;
(2)设出点的坐标,写出的方程,与抛物线方程联立,求得直线的方程,再由直线与抛物线方程联立,利用中点坐标求得点的纵坐标,由此判断轴;
(3)利用点的坐标表示的面积,利用基本不等式计算它的最小值.
解:(1)由题意,设点的坐标为 ,由,求得;又点的坐标为, ,∴圆的方程为 ;
(2)设,的方程为 ,代入
得 所以 即 ;
又 ,故点的坐标为 ;
直线的方程为 ,即 ,代入 ,可得 ;
∴ ,
故 ,所以轴。
(3)由(2)知, ,
又 ,可得,
∴的面积为
(当且仅当时取“”),
所以的面积存在最小值,且此最小值为.
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【题目】某高中在校学生2000人为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如表:
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
跑步 | a | b | c |
登山 | x | y | z |
其中a:b::3:5,全校参与登山的人数占总人数的,为了了解学生对本次活动的满意程度,现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取
A. 6人B. 12人C. 18人D. 24人
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【题目】关于统计数据的分析,有以下几个结论:①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差没有变化;②绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;③一组数据的方差一定是正数;④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图,根据这个直方图,可以得到时速在的汽车大约是60辆.则这4个结论中错误的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如表1所示.
表1
积极参加班级工作 | 不积极参加班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 17 | 8 | 25 |
学习积极性一般 | 5 | 20 | 25 |
合计 | 22 | 28 | 50 |
(1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.
参考表2
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | |
0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | ||
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.8 |
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,求{bn}的前n项和Tn.
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【题目】当今的学校教育非常关注学生身体健康成长,某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况,抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试,测试成绩分成,,,四个部分,并画出频率分布直方图如图所示,图中从左到右前三个小组的频率分别为,,,且第一小组从左向右数的人数为5人.
求第四小组的频率;
求参加两分钟跳绳测试的学生人数;
若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标,试估计该校二年级学生体能的达标率用百分数表示
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【题目】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点,,测得,,,,则,两点的距离为___.
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【题目】为提高学生学习的数学的兴趣,南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
(1)求三位同学选择的课程互不相同的概率:
(2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程,求三人共有多少种不同的选课种数;
(3)若至少有两位同学选择《数学史》,求三人共有多少种不同的选课种数.
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